Hàm von Mangoldt thỏa mãn định thức sau:[1][2]

log ⁡ ( n ) = ∑ d ∣ n Λ ( d ) . {\displaystyle \log(n)=\sum _{d\mid n}\Lambda (d).}

Tổng được lấy trên tất cả các số nguyên d là ước của n . Điều này được chứng minh bởi định lý cơ bản của số học, vì giá trị hàm của các phần tử không phải là lũy thừa của số nguyên tố bằng 0 . Ví dụ, xét trường hợp n = 12 = 22 × 3 , khi đó:

∑ d ∣ 12 Λ ( d ) = Λ ( 1 ) + Λ ( 2 ) + Λ ( 3 ) + Λ ( 4 ) + Λ ( 6 ) + Λ ( 12 ) = Λ ( 1 ) + Λ ( 2 ) + Λ ( 3 ) + Λ ( 2 2 ) + Λ ( 2 × 3 ) + Λ ( 2 2 × 3 ) = 0 + log ⁡ ( 2 ) + log ⁡ ( 3 ) + log ⁡ ( 2 ) + 0 + 0 = log ⁡ ( 2 × 3 × 2 ) = log ⁡ ( 12 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{d\mid 12}\Lambda (d)&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda (4)+\Lambda (6)+\Lambda (12)\\&=\Lambda (1)+\Lambda (2)+\Lambda (3)+\Lambda \left(2^{2}\right)+\Lambda (2\times 3)+\Lambda \left(2^{2}\times 3\right)\\&=0+\log(2)+\log(3)+\log(2)+0+0\\&=\log(2\times 3\times 2)\\&=\log(12).\end{aligned}}}

Bằng phép nghịch đảo Möbius, ta được [2][3][4]

Λ ( n ) = − ∑ d ∣ n μ ( d ) log ⁡ ( d )   . {\displaystyle \Lambda (n)=-\sum _{d\mid n}\mu (d)\log(d)\ .}

Với mọi x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1} , ta có [5]

∑ n ≤ x Λ ( n ) n = log ⁡ x + O ( 1 ) . {\displaystyle \sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{n}}=\log x+O(1).}

Ngoài ra, tồn tại hai hằng số c 1 {\displaystyle c_{1}} và c 2 {\displaystyle c_{2}} sao cho

ψ ( x ) ≤ c 1 x , {\displaystyle \psi (x)\leq c_{1}x,}

với mọi x ≥ 1 {\displaystyle x\geq 1} , và

ψ ( x ) ≥ c 2 x , {\displaystyle \psi (x)\geq c_{2}x,}

cho mọi x đủ lớn.